Los vectores son un auxiliar utilísimo para la geometría del espacio. En esta unidad partiendo de lo que ya se sabe de vectores en el plano, se contemplan las herramientas necesarias para la geometría tridimensional. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas en el primer octante las tres coordenadas son positivas.
Definición tomada de.
PITA RUIZCLAUDIO; CÁLCULO VECTORIAL, 1ª EDICIÓN; MÉXICO, PRENTICE – HALL HISPANOAMERICANA, 1070 pp. 1995.
Aquí podemos ver algunos ejercicios de cómo estos se aplican en el cálculo de varias variables.
Ejemplo 1.
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A= (−3, 4, 0), B= (3, 6, 3) y C= (−1, 2, 1).
Ejemplo 2.
Aplicando lo del ejercicio anterior vamos a hallar sus componentes de la siguiente manera:
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Dados los vectores u=(3,1,-1) y v=(2,3,4), hallar los modulos de u y v:
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.
Hallar la distancia entre los puntos A= (1, 2, 3) y B= (−1, 2, 0).
